螺旋錐齒輪齒面加工(gōng)偏差的敏感性分(fēn)析！

點擊：次 更新(xīn)日期：2024-05-17 09:40:18
螺旋錐齒輪齒面複雜，為(wèi)了研究機床幾何誤差對齒面偏差的敏感性，在建立螺旋錐齒輪齒面加工(gōng)偏差模型的基礎上，分(fēn)别采用(yòng)局部敏感性分(fēn)析方法和 Sobol 全局敏感性分(fēn)析方法，研究輸入參數範圍變化對輸出結果的影響，确定了影響齒面偏差的關鍵幾何誤差。從輸入參數和輸出結果兩個方面比較了兩種分(fēn)析方法的特點。明确了敏感性分(fēn)析方法的選取原則：對于輸入參數的分(fēn)布範圍不明确或者分(fēn)布情況相似的線(xiàn)性或非線(xiàn)性不強的模型，可(kě)以考慮采用(yòng)局部敏感性分(fēn)析;對于輸入參數的分(fēn)布範圍複雜、準确性要求高的非線(xiàn)性模型，适于采用(yòng)全局敏感性分(fēn)析方法。
　　螺旋錐齒輪具(jù)有(yǒu)重合度高、承載能(néng)力強、傳動比高和傳動效率高等特點，廣泛應用(yòng)于汽車(chē)、航空和礦山(shān)機械等領域。螺旋錐齒輪的制造精(jīng)度與數控機床的誤差直接相關。數控機床誤差包括幾何誤差、熱誤差和伺服控制誤差等。其中(zhōng)，機床幾何誤差具(jù)有(yǒu)重複、穩定的特點，可(kě)以通過數控系統進行精(jīng)确補償。因此研究機床幾何誤差的特點、确定關鍵幾何誤差項對于齒面偏差補償和機床運動精(jīng)度的分(fēn)配、維護有(yǒu)着重要的作(zuò)用(yòng)。

　　敏感性分(fēn)析是一種研究系統中(zhōng)輸入因素變化對輸出結果影響程度的分(fēn)析方法。分(fēn)析結果通過敏感性系數來表示，敏感度系數大的，表明該項輸入因素和輸出結果的相關度較高。敏感性分(fēn)析是研究機床幾何誤差與加工(gōng)精(jīng)度之間關系的重要方法。在機床幾何誤差的敏感性分(fēn)析方面，國(guó)内外學(xué)者進行了深入研究。CHEN 等通過矩陣微分(fēn)法計算出機床的 37 個幾何誤差項的敏感性系數;CHENG 等通過 Sobol 法，對立式加工(gōng)中(zhōng)心的 18 項幾何誤差進行了敏感性分(fēn)析;夏長(cháng)久等采用(yòng) Morris 法分(fēn)析出影響五軸數控磨齒機精(jīng)度的關鍵幾何誤差項;餘文(wén)利等采用(yòng)拓展傅裏葉幅度檢驗法識别出強耦合幾何誤差項和關鍵幾何誤差項。目前，雖然敏感性分(fēn)析方法很(hěn)多(duō)，但因為(wèi)螺旋錐齒輪的齒面複雜，影響齒面加工(gōng)精(jīng)度的因素衆多(duō)，所以合理(lǐ)選取敏感性分(fēn)析方法對于齒面偏差敏感性分(fēn)析至關重要。

　　本文(wén)作(zuò)者首先對比局部敏感性和全局敏感性方法的計算原理(lǐ)和特點;然後，結合螺旋錐齒輪數控加工(gōng)原理(lǐ)和敏感性分(fēn)析方法，研究機床幾何誤差對螺旋錐齒輪齒面偏差的敏感性關系;最後，通過實例分(fēn)析兩種敏感性分(fēn)析方法的特點，為(wèi)螺旋錐齒輪齒面偏差的敏感性分(fēn)析方法的選取提供理(lǐ)論指導。

　　一、敏感性分(fēn)析

　　敏感性分(fēn)析方法主要有(yǒu)兩類：以微分(fēn)法、差分(fēn)法和攝動法為(wèi)代表的局部敏感性分(fēn)析方法和以回歸分(fēn)析法、方差法和篩選法為(wèi)代表的全局敏感性分(fēn)析方法。通過敏感性分(fēn)析，可(kě)以确定出關鍵輸入因素和非關鍵輸入因素。在實際的分(fēn)析與計算中(zhōng)，可(kě)以先不考慮非關鍵輸入因素，從而可(kě)以顯著降低系統的複雜程度和分(fēn)析難度，同時大幅度降低相關數據的計算量和處理(lǐ)難度。

　　局部敏感性分(fēn)析方法

　　局部敏感性分(fēn)析是單因素分(fēn)析方法的一種，通過每次對單個輸入因素進行微小(xiǎo)改變，同時保持其他(tā)所有(yǒu)因素不變，以輸出結果對輸入參數的微分(fēn)或者單個輸入因素改變對輸出結果的變化情況來确定敏感性系數。局部敏感性概念明确，計算簡單，主要适用(yòng)于線(xiàn)性模型和非線(xiàn)性不強的模型，其分(fēn)析流程如圖 1 所示。


　　Sobol 全局敏感性分(fēn)析

　　全局敏感性分(fēn)析方法不但考慮各參數的範圍和分(fēn)布規律，而且在分(fēn)析計算的過程中(zhōng)将所有(yǒu)參數代入進行分(fēn)析，考慮了各輸入參數之間相互耦合對于結果的影響。但是，全局敏感性分(fēn)析方法一般需要進行一定規模的采樣得到模型的輸入參數，然後進行敏感性分(fēn)析，特别是對于參數較多(duō)情況，計算量會比較大。

　　以 Sobol 法為(wèi)例，該方法是一種基于方差的全局敏感性方法，該方法主要通過對模型進行子項方差分(fēn)解來計算輸入參數的敏感度系數。

　　以 n 表示模型的輸入參數個數，以 xi表示第 i 個輸入參數，其中(zhōng) i=(1，2，…，n)。

　　用(yòng) K=f(X)來表示模型對應的多(duō)變量函數，其中(zhōng) X=(x1，x2 ，…，xn)。f(X)分(fēn)解如下：


　　式中(zhōng)：f0是由輸入參數計算得到的輸出結果f(X) 的期望值，是一個常數;fi(xi)表示在輸入參數 xi單獨作(zuò)用(yòng)下的輸出結果;fi，j(xi，xj)表示在輸入參數 xi和 xj共同作(zuò)用(yòng)下的輸出結果;f1，…，n(x1 ，x2 ，…，xn)表示在全部輸入參數共同作(zuò)用(yòng)下的輸出結果;其餘各階同理(lǐ)可(kě)得。

　　總方差 D 可(kě)以用(yòng)以下形式表示：


　　可(kě)以求得方差分(fēn)量如下：


　　式中(zhōng)：1≤s≤n。

　　由 Sobol 法，将式(1)左右兩邊先平方後積分(fēn)可(kě)得：


　　可(kě)通過如下公(gōng)式求得敏感性系數：


　　因為(wèi)方差為(wèi)非負數，所以可(kě)知 Si1，…，is 為(wèi)非負數，根據式(4)和式(5)可(kě)以得到：


　　式中(zhōng)：Ｓｉ是變量 ｘｉ 對應的一階敏感性系數；Ｓｉ，ｊ（ｉ＜ｊ）是變量 ｘｉ和 ｘｊ的相互耦合作(zuò)用(yòng)所對應的二階敏感性系數。同理(lǐ)，可(kě)以得到每一階的敏感性系數。

　　變量 ｘｉ對應的全局敏感性系數 Ｓｔｏｔ ｉ 可(kě)以由與變量 ｘｉ相關的各項敏感性系數求和得到。計算方法如下：


　　式中(zhōng)：正整數 k 的取值範圍為(wèi)：1≤k≤n，且 k≠i。

　　蒙特卡羅估算

　　采用(yòng) Sobol 法在求解敏感性系數的過程中(zhōng)，涉及多(duō)重積分(fēn)求解，而對于複雜模型的多(duō)重積分(fēn)求解通常十分(fēn)困難，所以常通過蒙特卡羅法來近似模拟多(duō)重積分(fēn)求解。一般的計算方法如下：對輸入參數進行兩次獨立采樣，得到 E 和 F 兩個獨立的采樣矩陣，結果如下：


　　式中(zhōng)：k 為(wèi)每次采樣的樣本個數。

　　為(wèi)了求解一階敏感性系數和全局敏感性系數，以 E 和 F 兩個矩陣為(wèi)基礎，構造矩陣 EiF ，其中(zhōng) i=1，2， …，n。矩陣 EiF 是在矩陣 E 的基礎上，第 i 列用(yòng)矩陣 F 的第 i 列替換得到，其餘部分(fēn)和矩陣 E 完全相同， 矩陣 EiF 可(kě)以表示為(wèi)如下形式：


　　樣本矩陣的一行代表一個完整的輸入參數樣本集。因此，每一行的輸入參數可(kě)以單獨求解出一個模型輸出結果。一階敏感性系數 Si 和全局敏感性系數 S toti 可(kě)以通過以下式子進行近似計算：


　　式中(zhōng)：f(E)h 是将矩陣 E 的第 h 行代入模型求解出的輸出結果;f(F)h 是将矩陣 F 的第 h 行代入模型求解出的輸出結果;f(EiF)h 是将矩陣 EiF 的第 h 行代入模型求得的輸出結果;D 模為(wèi)型計算模型的總方差。

　　二、螺旋錐齒輪機床加工(gōng)模型

　　機床幾何誤差分(fēn)類

　　數控機床的結構如圖 2 所示：按照設定的數控程序，A、B、X、Y 和 Z 軸聯動，可(kě)以加工(gōng)出格裏森制的螺旋錐齒輪。C 軸帶動刀(dāo)盤旋轉，不影響齒面展成過程。機床的坐(zuò)标轉換關系如圖 3 所示。


　　對于與齒面展成相關的 5 個運動軸，每個軸受制造、裝(zhuāng)配等因素影響，存在幾何誤差，這些幾何誤差直接導緻齒面偏差的産(chǎn)生。每個軸有(yǒu) 6 項幾何誤差，包括 3 項線(xiàn)性誤差和 3 項角度誤差，對于整個機床來說，需要考慮 30 項幾何誤差 。

　　為(wèi)便于分(fēn)析，将幾何誤差序列進行編号，如表 1 所示。其中(zhōng) ε 代表角度誤差，δ 代表線(xiàn)性誤差，誤差變量通過兩個下标進行區(qū)分(fēn)：第一個下标代表誤差的方向，第二個下标表示誤差所在的軸。例如：εαY表示 Y 軸在 α 方向上的角度誤差， εyX表示 X 軸在 y 方向上的線(xiàn)性誤差。


　　齒面加工(gōng)過程

　　工(gōng)件齒輪的展成運動由 X、Y、Z、A 和 B 五個軸共同确定。所以 A 軸到 Y 軸的齊次變換矩陣與刀(dāo)具(jù)方程聯立可(kě)以得到理(lǐ)想狀況下的齒面方程 rg。


　　式中(zhōng)：Mq(q = X，Y，Z，A，B)為(wèi)各軸對應的運動變換矩陣;rt是由刀(dāo)具(jù)方程得到的表達式;u 和 θ 為(wèi)刀(dāo)盤參數。由于篇幅有(yǒu)限，具(jù)體(tǐ)過程可(kě)參考文(wén)獻。

　　若考慮機床幾何誤差，實際的齒面方程如下：


　　式中(zhōng)：Meq(q =X，Y，Z，A，B)為(wèi)各軸對應的幾何誤差矩陣。

　　三、敏感性分(fēn)析實例

　　采樣計算

　　以表 2 所示的齒輪為(wèi)例，根據式(13)可(kě)以得到螺旋錐齒輪的理(lǐ)論齒面。考慮實際加工(gōng)中(zhōng)受機床幾何誤差的影響，可(kě)以根據式(14)計算得到螺旋錐齒輪的實際齒面。


　　為(wèi)了便于分(fēn)析計算，用(yòng)離散的15×9 的點陣來代表齒面。結合式(13)和式(14)可(kě)以求得理(lǐ)論齒面點陣和實際齒面點陣，通過點陣中(zhōng)對應點的坐(zuò)标值，可(kě)以求解出對應齒面點的偏差值 Kf，f表示點陣中(zhōng)點的編号。K 表示齒面偏差，為(wèi)計算模型的輸出結果，用(yòng)來衡量齒面偏差的大小(xiǎo)，可(kě)通過如下式子求得：


　　給定各線(xiàn)性參數的變化量為(wèi)+0. 01 mm，各角度參數的變化量為(wèi)+27″。以齒面偏差 K 為(wèi)模型輸出結果，局部敏感性分(fēn)析結果如圖 4 所示。


　　參考局部敏感性分(fēn)析的輸入參數變化量，給定線(xiàn)性誤差範圍為(wèi) 0～ 10 μm，角度誤差的範圍為(wèi) 0″～ 27″，且幾何誤差參數符合均勻分(fēn)布。編寫采樣程序，在幾何誤差給定範圍内随機取樣，生成機床幾何誤差參數。結合式(13)和式(14)，可(kě)以計算出對應的理(lǐ)論齒面和實際齒面，根據兩種齒面點陣，求解出對應的齒面偏差 K。

　　通過 Sobol 全局敏感性分(fēn)析方法可(kě)以求解出 30 項機床幾何誤差的全局敏感性系數，按照全局敏感度系數大小(xiǎo)降序排列，如圖 5 所示。


　　輸入參數情況讨論

　　采用(yòng)局部敏感性分(fēn)析方法進行敏感性分(fēn)析，需要保證同類型輸入參數的變化量相同，這樣輸出結果才具(jù)有(yǒu)可(kě)比性。其選取的标準與輸入參數的實際範圍和分(fēn)布規律無關，所以實際輸入參數取值範圍發生變化不會影響局部敏感性分(fēn)析結果。

　　在前文(wén)中(zhōng)，全局敏感性分(fēn)析方法的輸入參數範圍的選取參考了局部敏感性分(fēn)析方法的特點，保證了同一類型參數的範圍和分(fēn)布規律相同。但是在真實情況下輸入參數的取值範圍一般不相同，變化規律也往往不一樣。所以，考慮實際可(kě)能(néng)發生的情況，以序号為(wèi) 4 的幾何誤差為(wèi)例，讓該幾何誤差的取值區(qū)間由 0 ～ 10 μm 變化為(wèi) 0～ 20 μm，同時保持其他(tā)條件不變。可(kě)以求得敏感性分(fēn)析結果如圖 6 所示。


　　可(kě)以發現，對于全局敏感性分(fēn)析方法，在改變輸入參數的取值範圍後，敏感性分(fēn)析的結果發生明顯變化，其中(zhōng)，序号為(wèi) 4 的幾何誤差項，即 δxY ，全局敏感性系數發生了明顯的變化，由原來的 0. 023 增加為(wèi) 0. 154。其他(tā)各項的全局敏感度系數隻有(yǒu)微小(xiǎo)的變化，且相關比例無明顯變化。

　　結果分(fēn)析

　　對于取值範圍變化前後兩種敏感性分(fēn)析方法的計算結果進行對比，可(kě)以發現對于螺旋錐齒輪齒面加工(gōng)偏差計算模型，兩種敏感性分(fēn)析方法有(yǒu)如下特點：

　　(1)在輸入參數取值範圍和分(fēn)布規律完全相同的理(lǐ)想情況下，兩種敏感性分(fēn)析方法求得的線(xiàn)性誤差對螺旋錐齒輪齒面偏差的敏感性系數分(fēn)布規律相同。5 個軸的線(xiàn)性誤差項的敏感性系數都呈現出 y 方向(序号為(wèi) 2，5，8，11，14 的幾何誤差)>x 方向(序号為(wèi) 1，4，7，10，13 的幾何誤差)>z 方向(序号為(wèi) 3，6，9，12，15 的幾何誤差)。

　　(2)在輸入參數取值範圍和分(fēn)布規律完全相同的理(lǐ)想情況下，兩種敏感性分(fēn)析方法求得的各軸角度誤差對螺旋錐齒輪齒面偏差的敏感性系數分(fēn)布規律，由于采用(yòng)的概率計算公(gōng)式和取樣樣本限制存在較小(xiǎo)差異，但整體(tǐ)趨勢相同。各軸關鍵角度誤差相同(序号為(wèi) 17，18，19，20，23，26，29 的幾何誤差)。

　　(3)當輸入參數取值範圍發生變化時，通過全局敏感性分(fēn)析可(kě)以發現，原本非關鍵幾何誤差的輸入參數可(kě)能(néng)變化為(wèi)關鍵幾何誤差。但是對于局部敏感性分(fēn)析方法來說，其分(fēn)析結果與輸入參數的分(fēn)布範圍無關，當輸入參數的分(fēn)布範圍差異較大時，該方法的分(fēn)析結果的準确性會顯著下降，甚至不再适用(yòng)于該模型的敏感性分(fēn)析。

　　四、結論

　　通過将兩種敏感性分(fēn)析方法分(fēn)别用(yòng)于螺旋錐齒輪齒面加工(gōng)偏差模型的敏感性分(fēn)析，可(kě)以發現：

　　(1)在輸入參數取值範圍和分(fēn)布規律完全相同的理(lǐ)想情況下，局部敏感性分(fēn)析方法的計算量較小(xiǎo)，可(kě)以較快得到初步分(fēn)析的結果，同時該分(fēn)析結果與全局敏感性分(fēn)析結果的分(fēn)布規律相同，具(jù)有(yǒu)一定的參考價值。

　　(2)Sobol 全局敏感性分(fēn)析方法考慮了輸入參數取值範圍和分(fēn)布規律對于分(fēn)析結果的影響，更加科(kē)學(xué)，得到的結論更可(kě)信，适用(yòng)的範圍更加廣泛。除此之外，大多(duō)數全局敏感性分(fēn)析可(kě)以用(yòng)來研究輸入參數與輸出結果的定量關系以及參數之間相互作(zuò)用(yòng)對于輸出結果的影響。但是相對于局部敏感性分(fēn)析方法，計算量顯著增加，需要花(huā)費更多(duō)的時間。

　　(3)對于輸入參數的分(fēn)布範圍不明确、可(kě)用(yòng)時間少以及分(fēn)布情況相同或相似的線(xiàn)性或非線(xiàn)性不強的模型，可(kě)以考慮采用(yòng)局部敏感性分(fēn)析;對于輸入參數的分(fēn)布範圍複雜、準确性要求高的非線(xiàn)性模型，可(kě)以考慮采用(yòng)全局敏感性分(fēn)析方法。

　　文(wén)中(zhōng)研究為(wèi)敏感性分(fēn)析方法在螺旋錐齒輪齒面加工(gōng)方面的使用(yòng)提出了理(lǐ)論指導，為(wèi)敏感性分(fēn)析方法的選取提供參考。
上一篇：#齒向任意修形齒輪的連續展成磨削運動軌迹規劃
下一批：精(jīng)密成型磨料有(yǒu)助于降低大齒輪磨削燒傷！